Funktion und Begriff.

Vorwort

Ich gebe hiermit einen Vortrag gesondert heraus in der Hoffnung, dass er so einige Leser finden werde, denen er unter den Abhandlungen der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft unbekannt bleiben würde. Es ist meine Absicht, in nächster Zeit, wie ich schon früher angedeutet habe, darzulegen, wie ich die grundlegenden Definitionen der Arithmetik in meiner Begriffsschrift ausdrücke, und wie ich daraus Beweise allein mit meinen Zeichen führe. Für diesen Zweck ist es mir von Wert, mich auf diesen Vortrag berufen zu können, um nicht genötigt zu sein, mich dort in Erörterungen einzulassen, die vielleicht Manchen als nicht unmittelbar zur Sache gehörig missfallen würden, von Anderen hingegen vermisst werden könnten. Mein Vortrag wendet sich, wie es der Ort mit sich brachte, nicht nur an Mathematiker; und ich habe mich einer so allgemeinverständlichen Ausdrucksweise zu bedienen gesucht, als es die verfügbare Zeit und der Gegenstand zuließen. Möge denn hierdurch in weiteren Kreisen der Gelehrten, insbesondere auch bei Logikern, Interesse für die Sache geweckt werden.

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Vor längerer Zeit 1) hatte ich die Ehre, in dieser Gesellschaft über das Ganze von Bezeichnungen vorzutragen, das ich Begriffsschrift genannt habe. Heute möchte ich nun diese Sache von einer anderen Seite her beleuchten und einige Ergänzungen und neue Fassungen mitteilen, deren Notwendigkeit sich mir seitdem ergeben hat. Es kann sich dabei nicht um eine vollständige Darlegung meiner Begriffsschrift, sondern nur darum handeln, einige Grundgedanken ins Licht zu setzen.

1) Am 10. Januar 1879 und am 27. Januar 1882.

Ich gehe von dem aus, was in der Mathematik Funktion genannt wird. Dieses Wort hat nicht gleich anfangs eine so weite Bedeutung gehabt, als es später erlangt hat. Es wird gut sein, unsere Betrachtung bei der ursprünglichen Gebrauchsweise zu beginnen und erst dann die späteren Erweiterungen ins Auge zu fassen. Ich will zunächst nur von Funktionen eines einzigen Arguments sprechen. Ein wissenschaftlicher Ausdruck erscheint da zuerst in seiner ausgeprägten Bedeutung, wo man seiner zum Aussprechen einer Gesetzmäßigkeit bedarf. Dieser Fall trat für die Funktion ein bei der Entdeckung der höheren Analysis. Da zuerst handelte es sich darum, Gesetze aufzustellen, die von Funktionen im Allgemeinen gelten. In die Zeit der Entdeckung der höheren Analysis ist also zurückzugehen, wenn man wissen will, was zuerst in der Mathematik unter dem Worte „Funktion“ verstanden wurde. Auf diese Frage erhält man wohl als Antwort: „unter einer Funktion von x wurde verstanden ein Rechnungsausdruck, der x enthält, eine Formel, die den Buchstaben x einschließt“. Danach würde z. B. der Ausdruck
2. X3 + x
eine Funktion von x,
2. 25 + 2
eine Funktion von 2 sein. Diese Antwort kann nicht befriedigen, weil dabei Form und Inhalt, Zeichen und Bezeichnetes nicht unterschieden werden, ein Fehler, dem man freilich jetzt in mathematischen Schriften, selbst von namhaften Verfassern sehr oft begegnet. Ich habe schon früher 1) auf die Mängel der gangbaren formalen Theorien in der Arithmetik hingewiesen. Man spricht da von Zeichen, die keinen Inhalt haben, noch haben sollen, legt ihnen dann aber doch Eigenschaften bei, die nur einem Inhalte des Zeichens vernünftigerweise zukommen können. So auch hier: ein bloßer Ausdruck, die Form für einen Inhalt kann

1) Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau 1884, § 92 u. ff., und Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, Jahrg. 1885, Sitzung vom 17. Juli.

das Wesen der Sache nicht sein, sondern nur der Inhalt selbst. Was ist nun der Inhalt, die Bedeutung von „2. 23+2“? Dieselbe wie von „18“ oder von „3.6“. In der Gleichung 2.23+2=18 wird ausgedrückt, dass die Bedeutung der rechtsstehenden Zeichenverbindung dieselbe sei wie die der linksstehenden. Ich muss hier der Ansicht entgegentreten, dass z. B. 2+5 und 3+4 zwar gleich, aber nicht dasselbe seien. Es liegt dieser Meinung wieder jene Verwechselung von Form und Inhalt, von Zeichen und Bezeichnetem zu Grunde. Es ist ebenso, als ob man das wohlriechende Veilchen als verschieden von Viola odorata ansehen wollte, weil die Namen verschieden klingen. Die Verschiedenheit der Bezeichnung kann allein nicht hinreichen, eine Verschiedenheit des Bezeichneten zu begründen. Hier ist die Sache nur dadurch weniger durchsichtig, dass die Bedeutung des Zahlzeichens 7 nichts sinnlich Wahrnehmbares ist. Die jetzt sehr verbreitete Neigung, nichts als Gegenstand anzuerkennen, was nicht mit den Sinnen wahrgenommen werden kann, verleitet dann dazu, die Zahlzeichen selbst für die Zahlen, für die eigentlichen Gegenstände der Betrachtung zu halten 1); und dann wären ja freilich 7 und 2 + 5 verschieden. Aber eine solche Auffassung ist nicht zu halten, weil man gar nicht

1) Vergleiche die Aufsätze: Zählen und Messen erkenntnistheoretisch betrachtet von H. v. Helmholtz, und lieber den Zahlbegriff von Leopold Kronecker. (Philosophische Aufsätze. Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctorjubiläum gewidmet. Leipzig 1887.)

von irgendwelchen arithmetischen Eigenschaften der Zahlen sprechen kann, ohne auf die Bedeutung der Zahlzeichen zurückzugehen. Die Eigenschaft der 1 z. B., mit sich selbst multipliziert sich selbst wieder zu ergeben, wäre eine reine Erdichtung; keine noch so weit getriebene mikroskopische oder chemische Untersuchung könnte jemals diese Eigenschaft an dem unschuldigen Gebilde entdecken, das wir Zahlzeichen Eins nennen. Man spricht vielleicht von einer Definition; aber keine Definition ist in der Weise schöpferisch, dass sie einem Dinge Eigenschaften verleihen könnte, die es nun einmal nicht hat, außer der einen, das auszudrücken und zu bezeichnen, wofür die Definition es als Zeichen einführt 1). Dagegen haben die Gebilde, die wir Zahlzeichen nennen, physikalische und chemische Eigenschaften, die von dem Schreibmittel abhangen. Man könnte sich denken, dass einmal ganz neue Zahlzeichen eingeführt würden, wie die arabischen z. B. die römischen verdrängt haben. Niemand wird im Ernste annehmen, dass man dadurch ganz neue Zahlen bekäme, ganz neue Gegenstände der Arithmetik mit bisher noch unerforschten Eigenschaften. Wenn man also von den Zahlzeichen ihre Bedeutungen unterscheiden muss, so wird man auch den Ausdrücken „2“, „1+1“, „3—1“, „6:3“ dieselbe Bedeutung zuerkennen müssen;

1) Es handelt sich dabei immer darum, mit einem Zeichen einen Sinn oder eine Bedeutung zu verbinden. Wo Sinn und Bedeutung ganz fehlen, kann eigentlich weder von einem Zeichen, noch von einer Definition die Rede sein.

denn es ist gar nicht abzusehen, worin der Unterschied bestehen sollte. Man sagt vielleicht: 1+1 ist eine Summe, aber 6:3 ein Quotient. Was ist aber 6:3? die Zahl, welche mit 3 multipliziert 6 ergibt. „Die Zahl“, nicht „eine Zahl“ heißt es; mit dem bestimmten Artikel deutet man an, dass es nur eine einzige gibt. Nun ist

(1+1) + (1+1) + (1+1) = 6,

und also ist (1+1) eben die Zahl, welche als (6:3) bezeichnet wurde. Die verschiedenen Ausdrücke entsprechen verschiedenen Auffassungen und Seiten, aber doch immer derselben Sache. Die Gleichung x2 = 4 würde sonst nicht nur die beiden Wurzeln 2 und — 2, sondern auch (1+1) und unzählige andere erhalten, die von einander verschieden, wenn auch in gewisser Hinsicht einander ähnlich wären. Indem man nur zwei reelle Wurzeln anerkennt, verwirft man die Ansicht, das Gleichheitszeichen bedeute kein völliges Zusammenfallen, sondern nur eine teilweise Übereinstimmung. Halten wir daran fest, so sehen wir, dass die Ausdrücke
„2.13+1“,
„2.23+2“,
„2.43+4“
Zahlen bedeuten, nämlich 3, 18, 132. Wenn nun die Funktion wirklich nur Bedeutung eines Rechnungsausdrucks wäre, so wäre sie eben eine Zahl; und etwas Neues hätten wir damit für die Arithmetik nicht gewonnen. Nun pflegt man freilich bei dem Worte „Funktion“ an Ausdrücke zu denken, in denen eine Zahl durch den Buchstaben x nur unbestimmt angedeutet ist, wie etwa
„2.x3+x“;
aber damit ist nichts geändert; denn dieser Ausdruck deutet dann eine Zahl auch nur unbestimmt an; und ob ich ihn hinschreibe, oder nur „x“, macht keinen wesentlichen Unterschied.

Dennoch werden wir eben durch die Schreibung mit dem unbestimmt andeutenden „x“ auf die richtige Fassung hingeleitet. Man nennt x das Argument der Funktion und erkennt in
„2.13+1“,
„2.43+4“,
„2.53+5“
dieselbe Funktion wieder, nur mit verschiedenen Argumenten, nämlich 1, 4 und 5. Daraus ist zu ersehen, dass in dem Gemeinsamen jener Ausdrücke das eigentliche Wesen der Funktion liegt; d. h. also in dem, was in
„2.x3+x“
noch außer dem „x“ vorhanden ist, was wir etwa so schreiben könnten
„2.( )3+( )“.
Es kommt mir darauf an, zu zeigen, dass das Argument nicht mit zur Funktion gehört, sondern mit der Funktion zusammen ein vollständiges Ganzes bildet; denn die Funktion für sich allein ist unvollständig, ergänzungsbedürftig oder ungesättigt zu nennen. Und dadurch unterscheiden sich die Funktionen von den Zahlen von Grund aus. Und aus diesem Wesen der Funktion erklärt es sich, dass wir einerseits in „2.13+1“ und „2.23+2“ dieselbe Funktion erkennen, obwohl diese Ausdrücke verschiedene Zahlen bedeuten, während wir andererseits in „2.13+1“ und „4—1“ trotz des gleichen Zahlenwertes nicht dieselbe Funktion wiederfinden. Wir sehen nun auch, wie man leicht dazu verführt wird, grade in der Form des Ausdrucks das Wesentliche der Funktion zu sehen. In dem Ausdrucke erkennen wir die Funktion dadurch, dass wir ihn zerlegt denken; und eine solche mögliche Zerlegung wird durch seine Bildung nahe gelegt.

Die beiden Teile, in welche der Rechnungsausdruck so zerlegt wird, das Zeichen des Arguments und der Ausdruck der Funktion sind ungleichartig, da ja das Argument eine Zahl, ein in sich abgeschlossenes Ganzes ist, was die Funktion nicht ist. Man kann dies vergleichen mit der Teilung einer Strecke durch einen Punkt. Man ist dann geneigt, den Teilungspunkt zu beiden Teilstrecken zu rechnen. Wenn man aber die Teilung rein vornehmen will, nämlich so, dass nichts doppelt gerechnet wird und nichts ausfällt, so darf man den Teilpunkt nur zu der einen Teilstrecke rechnen. Diese wird dadurch völlig in sich abgeschlossen und ist dem Argumente zu vergleichen, während der anderen etwas fehlt. Der Teilpunkt nämlich, den man ihren Endpunkt nennen könnte, gehört nicht zu ihr. Erst dadurch, dass man sie durch diesen Endpunkt oder eine Strecke mit zwei Endpunkten ergänzt, erhält man aus ihr etwas Vollständiges. Wenn ich nun z. B. sage „die Funktion 2.x3+x“, so ist x nicht als zur Funktion gehörig zu betrachten, sondern dieser Buchstabe dient nur dazu, die Art der Ergänzungsbedürftigkeit anzudeuten, indem er die Stellen kenntlich macht, wo das Zeichen des Arguments einzutreten hat.

Wir nennen nun das, wozu die Funktion durch ihr Argument ergänzt wird, den Wert der Funktion für dies Argument. So ist z. B. 3 der Werth der Funktion 2.x2+x für das Argument 1, weil wir haben 2.12+1=3.

Es gibt Funktionen wie z. B. 2+x—x oder 2+0.x, deren Wert immer derselbe ist, was auch ihr Argument sei; wir haben 2 = 2+x— x und 2 = 2+0.x. Wenn man nun das Argument mit zur Funktion rechnete, so würde man die Zahl 2 für diese Funktion halten. Aber dies ist unrichtig. Obwohl hier der Wert der Funktion immer 2 ist, so ist die Funktion selbst doch von 2 zu unterscheiden; denn der Ausdruck einer Funktion muss immer eine oder mehrere Stellen aufweisen, welche zur Ausfüllung durch das Zeichen des Arguments bestimmt sind.

Die Methode der analytischen Geometrie bietet nun ein Mittel, uns die Werte einer Funktion für verschiedene Argumente anschaulich zu machen. Indem wir nämlich das Argument als Zahlenwert einer Abscisse und den zugehörigen Wert der Funktion als Zahlenwert der Ordinate eines Punktes betrachten, erhalten wir eine Gesamtheit von Punkten, die sich der Anschauung in den gewöhnlichen Fällen als Kurve darstellt. Jeder Kurvenpunkt entspricht einem Argumente mit dem zugehörigen Funktionswerte.

So gibt z. B.
y = x3—4x
eine Parabel, wobei „y“ den Werth der Funktion und den Zahlenwert der Ordinate ebenso andeutet wie „x“ das Argument und den Zahlenwert der Abscisse. Vergleichen wir hiermit die Funktion
x(x—4),
so finden wir, dass sie allgemein für dasselbe Argument denselben Wert hat wie jene. Wir haben allgemein
x2— 4x = x(x—4),
welche Zahl auch für x genommen werde. Daher ist die Kurve, die wir aus
y=x(x2—4x
erhalten, dieselbe wie die aus
y=x(x—4)
hervorgehende. Ich spreche das so aus: die Funktion x(x — 4) hat denselben Wertverlauf wie die Funktion x2—4x.

Wenn wir schreiben
x2—4x=x(x—4),
so haben wir nicht eine Funktion der anderen, sondern nur die Funktionswerte einander gleich gesetzt. Und wenn wir diese Gleichung so verstehen, dass sie gelten soll, was für ein Argument auch für x eingesetzt werden möge, so haben wir damit die Allgemeinheit einer Gleichung ausgedrückt. Wir können dafür aber auch sagen „der Wertverlauf der Funktion x(x—4) ist gleich dem der Funktion x2—4x“ und haben darin eine Gleichung zwischen Werthverläufen. Dass es unmöglich ist, die Allgemeinheit einer Gleichung zwischen Funktionswerten als eine Gleichung aufzufassen, nämlich als eine Gleichung zwischen Wertverläufen, ist, wie mir scheint, nicht zu beweisen, sondern muss als logisches Grundgesetz angesehen werden1).

Es mag nun auch eine kurze Bezeichnungsweise für den Wertverlauf einer Funktion eingeführt werden. Zu dem Zwecke ersetze ich das Zeichen des Arguments in dem Ausdrucke der Funktion durch ein griechisches Vokalzeichen, schließe das Ganze in Klammern ein und schicke ihm denselben griechischen Buchstaben mit einem Spiritus lenis vorher. Danach ist z. B.
?(?2—4?)
der Wertverlauf der Funktion x2—4x und
?(?.(?—4))
der Werthverlauf der Funktion x(x — 4), so dass
wir in
„?(?2—4?) = ?(?.(?—4))“
den Ausdruck dafür haben, dass der erste Wertverlauf derselbe wie der zweite ist. Die griechischen Buchstaben sind absichtlich verschieden gewählt, um anzudeuten, dass nichts dazu nötigt, denselben zu nehmen.

1) In manchen Wendungen der üblichen mathematischen Ausdrucksweise entspricht wohl das Wort „Funktion“ dem, was ich hier Wertverlauf einer Funktion genannt habe. Aber Funktion in dem hier gebrauchten Sinne des Wortes ist das logisch Frühere.

„x2—4x = x(x—4)“

drückt zwar denselben Sinn aus, wenn wir es wie oben verstehen, aber in anderer Weise. Es stellt den Sinn dar als Allgemeinheit einer Gleichung, während der neu eingeführte Ausdruck einfach eine Gleichung ist, deren rechte Seite sowohl wie die linke eine in sich abgeschlossene Bedeutung hat. In
„x2—4x = x(x—4)“
deutet die linke Seite, allein betrachtet, nur unbestimmt eine Zahl an und ebenso die rechte Seite. Wenn wir blos „x2—4x“ hätten, so könnten wir dafür auch „y2—4y“ schreiben, ohne den Sinn zu ändern; denn „y“ deutet ebenso wie „x“ nur unbestimmt eine Zahl an. Wenn wir aber beide Seiten zu einer Gleichung vereinigen, so müssen wir beiderseits denselben Buchstaben wählen und drücken dadurch etwas aus, was weder die linke Seite für sich, noch die rechte Seite, noch das Gleichheitszeichen enthält, nämlich eben die Allgemeinheit, freilich die Allgemeinheit einer Gleichung, aber doch in erster Linie eine Allgemeinheit.

Wie man eine Zahl unbestimmt durch einen Buchstaben andeutet, um Allgemeinheit auszudrücken, hat man auch das Bedürfnis, eine Funktion unbestimmt durch Buchstaben anzudeuten. Man bedient sich dazu meistens der Buchstaben f und F in der Weise, dass in „f(x)“ und „F(x)“ x das Argument vertritt. Hier kommt die Ergänzungsbedürftigkeit der Funktion dadurch zum Ausdruck, dass der Buchstabe f oder F eine Klammer mit sich führt, deren Innenraum zur Aufnahme des Argumentzeichens bestimmt ist. Danach deutet
„?f(?)“
den Wertverlauf einer Funktion an, die unbestimmt gelassen ist.

Wie ist nun die Bedeutung des Wortes Funktion beim Fortschreiten der Wissenschaft erweitert worden? Man kann dabei zwei Richtungen unterscheiden.

Erstens nämlich ist der Kreis der Rechnungsarten erweitert worden, die zur Bildung einer Funktion beitragen. Zu der Addition, Multiplikation, Potenzierung und deren Umkehrungen sind die verschiedenen Arten des Grenzüberganges hinzugekommen, ohne dass man allerdings immer ein klares Bewusstsein von dem wesentlich Neuen hatte, das damit aufgenommen werde. Man ist weiter gegangen und sogar genötigt worden, zu der Wortsprache seine Zuflucht zu nehmen, da die Zeichensprache der Analysis versagte, wenn z. B. von einer Funktion die Rede war, deren Wert für rationale Argumente 1, für irrationale 0 ist.

Zweitens ist der Kreis dessen erweitert worden, was als Argument und Funktionswert auftreten kann, durch Aufnahme der complexen Zahlen. Hiermit musste zugleich der Sinn der Ausdrücke „Summe“, „Product“ u. s. w. weiter bestimmt werden.

In beiden Richtungen gehe ich nun weiter. Zunächst nehme ich zu den Zeichen +, — u. s. w., die zur Bildung eines Funktionsausdruckes dienen, noch hinzu Zeichen wie =, >, <, sodass ich z. B. von der Funktion x2 = l sprechen kann, wo x wie früher das Argument vertritt. Die erste Frage, die hier auftaucht, ist die nach den Werten dieser Funktion für verschiedene Argumente. Setzen wir einmal der Reihe nach für x — 1, 0, 1, 2, so erhalten wir

(—1)2 = 1,
02 = 1,
12 = l,
22 = 1.

Von diesen Gleichungen sind die erste und dritte wahr, die anderen falsch. Ich sage nun: „der Werth unserer Funktion ist ein Wahrheitswert“ und unterscheide den Wahrheitswert des Wahren von dem des Falschen. Den einen nenne ich kurz das Wahre, den andern das Falsche. Hiernach bedeutet z.B. „2“ = 4“ das Wahre ebenso, wie etwa „22“ 4 bedeutet. Und es bedeutet „22 = 1“ das Falsche. Demnach bedeuten
„22 = 4“, „2>1“, „24 = 42“
dasselbe, nämlich das Wahre, sodass wir in
(22 =4)=(2>1)
eine richtige Gleichung haben.

Es liegt hier der Einwand nahe, dass „22 =4“ und „2>1“ doch ganz Verschiedenes besagen, ganz verschiedene Gedanken ausdrücken; aber auch „24 = 42“ und „4.4 = 42“ drücken verschiedene Gedanken aus; und doch kann man „24“ durch „4.4“ ersetzen, weil beide Zeichen dieselbe Bedeutung haben. Folglich haben auch „24 = 42“ und „4.4 = 42“ dieselbe Bedeutung. Man sieht hieraus, dass die Gleichheit der Bedeutung nicht die Gleichheit des Gedankens zur Folge hat. Wenn wir sagen „der Abendstern ist ein Planet, dessen Umlaufszeit kleiner ist als die der Erde“, so haben wir einen anderen Gedanken ausgedrückt als in dem Satze „der Morgenstern ist ein Planet, dessen Umlaufszeit kleiner ist als die der Erde“; denn, wer nicht weiß, dass der Morgenstern der Abendstern ist, könnte den einen für wahr, den andern für falsch halten; und doch muss die Bedeutung beider Sätze dieselbe sein, weil nur die Wörter „Abendstern“ und „Morgenstern“ mit einander vertauscht sind, welche dieselbe Bedeutung haben, d. h. Eigennamen desselben Himmelskörpers sind. Man muss Sinn und Bedeutung unterscheiden. „24“ und „4.4“ haben zwar dieselbe Bedeutung; d. h. sie sind Eigennamen derselben Zahl; aber sie haben nicht denselben Sinn; und daher haben „24 = 42„ und „4.4 = 42“ zwar dieselbe Bedeutung, aber nicht denselben Sinn; d. h. in diesem Falle: sie enthalten nicht denselben Gedanken 1).

Mit demselben Rechte also, wie wir schreiben
„24 = 4.4“
können wir auch schreiben
„(24 = 42) = (4.4 = 42)“
und
„(22 = 4) = (2>1)“.

1) Ich verkenne nicht, dass diese Wendung zunächst willkürlich und künstlich erscheinen mag, und dass eine eingehendere Begründung gefordert werden könnte. Man vergl. meinen nächstens erscheinenden Aufsatz über Sinn und Bedeutung in der Zeitschrift für Philosophie und phil. Kritik.

Ferner könnte gefragt werden, zu welchem Zwecke denn die Zeichen =, >, < in den Kreis derer aufgenommen werden, die einen Funktionsausdruck bilden helfen. Es scheint jetzt die Meinung immer mehr Anhänger zu gewinnen, dass die Arithmetik weiter entwickelte Logik ist, dass eine strengere Begründung der arithmetischen Gesetze auf rein logische und nur auf solche zurückführt. Auch ich bin dieser Meinung und gründe darauf die Forderung, dass die arithmetische Zeichensprache zu einer logischen erweitert werden muss. Wie dies in unserem Falle geschieht, wird nun anzudeuten sein.

Wir sahen, dass der Werth unserer Funktion x2 = l immer einer der beiden Wahrheitswerte ist. Wenn nun für ein bestimmtes Argument, z. B. —1, der Funktionswert das Wahre ist, so können wir das so ausdrücken: „die Zahl — 1 hat die Eigenschaft, dass ihr Quadrat 1 ist“, oder kürzer: „ —1 ist eine Quadratwurzel aus 1“, oder „ —1 fällt unter den Begriff der Quadratwurzel aus 1“. Wenn der Wert der Funktion x2 = l für ein Argument, z. B. 2, das Falsche ist, so werden wir das so ausdrücken können: „2 ist nicht Quadratwurzel aus 1“ oder „2 fällt nicht unter den Begriff Quadratwurzel aus 1“. Wir sehen daraus, wie eng das, was in der Logik Begriff genannt wird, zusammenhängt mit dem, was wir Funktion nennen. Ja, man wird geradezu sagen können: ein Begriff ist eine Funktion, deren Wert immer ein Wahrheitswert ist. Auch der Wert der Funktion
(x+1)2 =2(x+1)
ist immer ein Wahrheitswert. Wir erhalten das Wahre z. B. für das Argument —1 und werden dies auch so aussprechen können: —1 ist eine Zahl, die um 1 kleiner ist als eine Zahl, deren Quadrat ihrem Zweifachen gleich ist. Hiermit ist das Fallen der Zahl —1 unter einen Begriff ausgedrückt. Nun haben die Funktionen
x2 = l und (x+1)2 = 2(x+l)
für dasselbe Argument immer denselben Werth, nämlich für —1 und +1 das Wahre, für alle anderen Argumente das Falsche. Nach dem früher Festgestellten werden wir also sagen, dass diese Funktionen denselben Wertverlauf haben, und dies so in Zeichen ausdrücken:

?(?2 =1) = ?((?+1)2 =2(?+l)).

In der Logik nennt man dies Gleichheit des Umfanges der Begriffe. Wir können demnach als Begriffsumfang den Wertverlauf einer Funktion bezeichnen, deren Wert für jedes Argument ein Wahrheitswert ist.

Wir werden bei den Gleichungen und Ungleichungen nicht stehen bleiben. Die sprachliche Form der Gleichungen ist ein Behauptungssatz. Ein solcher enthält als Sinn einen Gedanken — oder macht wenigstens Anspruch darauf, einen zu enthalten —; und dieser Gedanke ist im Allgemeinen wahr oder falsch; d. h. er hat im Allgemeinen einen Wahrheitswert, der ebenso als Bedeutung des Satzes aufzufassen ist, wie etwa die Zahl 4 die Bedeutung des Ausdruckes „2 + 2“ ist, oder wie London die Bedeutung des Ausdruckes „Englands Hauptstadt“ ist.

Behauptungssätze im Allgemeinen kann man ebenso wie Gleichungen oder Ungleichungen oder analytische Ausdrücke zerlegt denken in zwei Teile, von denen der eine in sich abgeschlossen, der andere ergänzungsbedürftig, ungesättigt ist. So kann man z. B. den Satz

„Caesar eroberte Gallien“

zerlegen in „Caesar“ und „eroberte Gallien“. Der zweite Teil ist ungesättigt, führt eine leere Stelle mit sich, und erst dadurch, dass diese Stelle von einem Eigennamen ausgefüllt wird oder von einem Ausdrucke, der einen Eigennamen vertritt, kommt ein abgeschlossener Sinn zum Vorschein. Ich nenne auch hier die Bedeutung dieses ungesättigten Teiles Funktion. In diesem Falle ist das Argument Caesar.

Wir sehen, dass hier zugleich eine Erweiterung in der anderen Richtung vorgenommen ist, nämlich hinsichtlich dessen, was als Argument auftreten kann. Es sind nicht mehr bloß Zahlen zuzulassen, sondern Gegenstände überhaupt, wobei ich allerdings auch Personen zu den Gegenständen rechnen muss. Als mögliche Funktionswerte sind schon vorhin die beiden Wahrheitswerte eingeführt Wir müssen weiter gehen und Gegenstände ohne Beschränkung als Funktionswerte zulassen. Um hierfür ein Beispiel zu haben, gehen wir etwa aus von dem Ausdrucke
„die Hauptstadt des deutschen Reichs“.

Dieser vertritt offenbar einen Eigennamen und bedeutet einen Gegenstand. Zerlegen wir ihn nun in die Teile
„die Hauptstadt des“

und „deutsches Reich“, wobei ich die Form des Genitivs zum ersten Teile rechne, so ist dieser ungesättigt, während der andere in sich abgeschlossen ist. Ich nenne also dem Früheren gemäss

„die Hauptstadt des x“

Ausdruck einer Funktion. Nehmen wir als ihr Argument das deutsche Reich, so erhalten wir als Funktionswert Berlin.

Wenn wir so Gegenstände ohne Einschränkung als Argumente und als Funktionswerte zugelassen haben, so fragt es sich nun, was hier Gegenstand genannt wird. Eine schulgemäße Definition halte ich für unmöglich, weil wir hier etwas haben, was wegen seiner Einfachheit eine logische Zerlegung nicht zulässt. Es ist nur möglich, auf das hinzudeuten, was gemeint ist. Hier kann nur kurz gesagt werden: Gegenstand ist Alles, was nicht Funktion ist, dessen Ausdruck also keine leere Stelle mit sich führt.

Ein Behauptungssatz enthält keine leere Stelle und darum ist seine Bedeutung als Gegenstand anzusehen. Diese Bedeutung aber ist ein Wahrheitswert. Also sind die beiden Wahrheitswerte Gegenstände.

Wir haben vorhin Gleichungen zwischen Wertverläufen aufgestellt, z. B.

„?(?2 — 4?) = ? (?(? — 4))“.

Wir können dies zerlegen in „?(?2 — 4?)“ und „( ) = ?(?(?—4))“.

Dieser letzte Teil ist ergänzungsbedürftig, indem er links vom Gleichheitszeichen eine leere Stelle mit sich führt. Der erste Teil „?(?2—4?)“ ist völlig in sich abgeschlossen, bedeutet also einen Gegenstand. Wertverläufe von Funktionen sind Gegenstände, während Funktionen selbst es nicht sind. Wir hatten auch ?(?2 =1) Wertverlauf genannt, konnten es aber auch bezeichnen als Umfang des Begriffes Quadratwurzel aus 1. Auch Begriffsumfänge sind also Gegenstände, obwohl die Begriffe selbst es nicht sind.

Nachdem wir so den Umkreis dessen, was als Argument genommen werden darf, erweitert haben, müssen genauere Festsetzungen über die Bedeutungen der schon gebräuchlichen Zeichen getroffen werden. Solange man von den Gegenständen nur die ganzen Zahlen in der Arithmetik betrachtet, deuten die Buchstaben a und b in „a+b“ nur ganze Zahlen an, braucht das Pluszeichen nur zwischen ganzen Zahlen erklärt zu werden. Jede Erweiterung des Umkreises der Gegenstände, die durch „a“ und „b“ angedeutet werden, nötigt zu einer neuen Erklärung des Pluszeichens. Vorkehrungen zu treffen, dass nie ein Ausdruck bedeutungslos werden könne, dass man nie, ohne es zu merken, mit leeren Zeichen rechne in der Meinung, mit Gegenständen zu tun zu haben, erscheint als Gebot der wissenschaftlichen Strenge. Man hat früher mit divergenten unendlichen Reihen üble Erfahrungen gemacht. Es ist also nötig, Festsetzungen zu machen, aus denen hervorgeht, was z. B.
„?+1“
bedeutet, wenn „?“ die Sonne bedeuten soll. Wie diese Festsetzungen geschehen, ist verhältnismäßig gleichgültig; wesentlich ist aber, dass sie gemacht werden, dass „a+b“ immer eine Bedeutung erhalte, welche Zeichen bestimmter Gegenstände auch für „a“ und „b“ eingesetzt werden mögen. Für die Begriffe haben wir hierin die Forderung, dass sie für jedes Argument einen Wahrheitswert als Wert haben, dass für jeden Gegenstand bestimmt sei, ob er unter den Begriff falle oder nicht; mit anderen Worten: wir haben für Begriffe die Forderung ihrer scharfen Begrenzung, ohne deren Erfüllung es unmöglich wäre, logische Gesetze von ihnen aufzustellen. Für jedes Argument x, für das „x+l“ bedeutungslos wäre, hätte auch die Funktion x+l = 10 keinen Werth, also auch keinen Wahrheitswert, sodass der Begriff,

was um 1 vermehrt 10 ergibt,

keine scharfe Grenze hätte. Die Forderung der scharfen Begrenzung der Begriffe zieht also die für Funktionen im Allgemeinen nach sich, dass sie für jedes Argument einen Wert haben müssen.

Wir haben die Wahrheitswerte bisher nur als Funktionswerte, nicht als Argumente betrachtet. Nach dem eben Gesagten muss eine Funktion auch dann einen Werth erhalten, wenn als Argument ein Wahrheitswert genommen wird; aber eine Festsetzung zu dem Zwecke mag bei den schon üblichen Zeichen meist nur geschehen, damit sie geschehe, ohne dass dabei sehr in Betracht kommt, was bestimmt wird. Es mögen nun aber einige Funktionen betrachtet werden, an denen uns grade dann gelegen ist, wenn ihr Argument ein Wahrheitswert ist.

Ich führe als solche ein
— x,

indem ich festsetze, dass der Wert dieser Funktion das Wahre sein soll, wenn als Argument das Wahre genommen wird, dass hingegen in allen anderen Fällen der Wert dieser Funktion das Falsche ist; also sowohl dann, wenn das Argument das Falsche ist, als auch dann, wenn es kein Wahrheitswert ist. Danach ist z. B.

—1+3=4
das Wahre, während sowohl
1+3 = 5

als auch das Falsche ist. Diese Funktion hat also als Wert das Argument selbst, wenn dieses ein Wahrheitswert ist. Ich habe diesen wagerechten Strich früher Inhaltsstrich genannt, eine Name, der nun nicht mehr passend scheint. Ich will ihn jetzt einfach den Wagerechten nennen.

Wenn man eine Gleichung oder Ungleichung hinschreibt, z. B. 5>4, so will man gewöhnlich damit zugleich ein Urtheil ausdrücken; man will in unserem Falle behaupten, 5 sei größer als 4. Nach der von mir hier dargelegten Auffassung hat man in „5>4“ oder „1+3 = 5“ nur Ausdrücke von Wahrheitswerten, ohne dass damit etwas behauptet werden soll. Diese Trennung des Urteilens von dem, worüber geurteilt wird, erscheint unumgänglich, weil sonst eine bloße Annahme, das Setzen eines Falles, ohne gleich über sein Eintreten zu urteilen, nicht ausdrückbar wäre. Wir bedürfen also eines besonderen Zeichens, um etwas behaupten zu können. Ich bediene mich hierzu eines senkrechten Striches am lenken Ende des Wagerechten, sodass wir z. B. mit

„I—2+3 = 5“

behaupten: 2+3 ist gleich 5. Es wird also nicht
blos wie in

„2+3 =5“

ein Wahrheitswert hingeschrieben, sondern zugleich auch gesagt, dass er das Wahre sei1).

Die nächst einfache Funktion mag die sein, deren Wert gerade für die Argumente das Falsche ist, für welche der Wert von —x das Wahre ist, und deren Wert umgekehrt für die Argumente das Wahre ist, für welche der Wert von —x das Falsche ist. Ich bezeichne sie so

—x,

wobei ich den kleinen senkrechten Strich Verneinungsstrich nenne. Ich fasse diese Funktion auf als eine Funktion mit dem Argumente —x:
( —x) = ( — (—x)),
indem ich die beiden wagerechten Striche verschmolzen denke. Es ist aber auch
( — (—x)) = ( —x)),

1) Der Urteilsstrich kann nicht zur Bildung eines Funktionsausdrucks gebraucht werden, weil er nicht mit anderen Zeichen zusammen zur Bezeichnung eines Gegenstandes dient. „I—2+3=5“ bezeichnet nichts, sondern behauptet etwas.

weil der Werth von —x immer ein Wahrheitswert ist. Ich fasse also in „—x“ die beiden Strichteile rechts und links vom Verneinungsstriche als Wagerechte auf in dem vorhin erklärten besonderen Sinne des Wortes. Es bedeutet demnach z. B.
„—22 = 5“
das Wahre, und wir können den Urteilsstrich anbringen:
I—22 = 5;
und damit behaupten wir, dass 22 = 5 nicht das Wahre ist, oder dass 22 nicht 5 ist. Es ist aber auch
—2
das Wahre, weil —2 das Falsche ist:
I—2;
d. h. 2 ist nicht das Wahre.

... Man könnte denken, dass dies so weiter ginge. [Man irrt darin nicht. Es folgt eine Vielzahl von Beweisen ...]

... Wahrscheinlich ist aber schon dieser letzte Schritt nicht so folgenreich wie die früheren, weil man statt der Funktionen zweiter Stufe im weiteren Fortgang Funktionen erster Stufe betrachten kann, wie an einem anderen Orte gezeigt werden soll. Damit ist aber der Unterschied zwischen Funktionen erster und zweiter Stufe nicht aus der Welt geschafft, weil er nicht willkürlich gemacht, sondern in der Natur der Sache tief begründet ist.

Man kann auch statt der Funktionen mit zwei Argumenten Funktionen eines einzigen, aber komplexen Arguments betrachten, wobei jedoch der Unterschied zwischen den Funktionen mit einem und denen mit zwei Argumenten in ganzer Schärfe bestehen bleibt.